Модуль суммы меньше или равен сумме модулей

В математике существует важное неравенство, связывающее модуль суммы чисел и сумму их модулей. Это свойство известно как неравенство треугольника для абсолютных величин.

Формулировка неравенства

Для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство:

|a + b| ≤ |a| + |b|

Геометрическая интерпретация

Доказательство неравенства

1. Рассмотрим все возможные комбинации знаков чисел a и b
2. Для a ≥ 0 и b ≥ 0: |a + b| = a + b = |a| + |b|
3. Для a ≤ 0 и b ≤ 0: |a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|
4. Для чисел разных знаков: |a + b| < |a| + |b| (так как происходит частичная компенсация)

Примеры применения

• Если a = 5, b = 3: |5 + 3| = 8 = |5| + |3|
• Если a = -4, b = 2: |-4 + 2| = 2 < |-4| + |2| = 6
• Если a = 7, b = -7: |7 + (-7)| = 0 < |7| + |-7| = 14

Обобщение для n слагаемых

Неравенство распространяется на любое количество слагаемых:

|a₁ + a₂ + ... + aₙ| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |aₙ|

Значение в математическом анализе

Это неравенство играет важную роль в:

• Теории метрических пространств
• Доказательстве сходимости рядов
• Оценке погрешностей вычислений
• Анализе функций многих переменных