Убывающая геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, где каждое последующее получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель) по модулю меньшее единицы. Рассмотрим методы вычисления суммы таких прогрессий.
Содержание
Основные понятия
- Первый член прогрессии (a₁)
- Знаменатель прогрессии (q), где |q| < 1
- n-й член прогрессии (aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹)
- Сумма бесконечной прогрессии (S)
Формула суммы бесконечной убывающей прогрессии
| Формула | Условия применения |
| S = a₁ / (1 - q) | При |q| < 1 |
Пошаговый алгоритм вычисления
1. Проверка условий убывающей прогрессии
- Убедитесь, что |q| < 1
- Проверьте, что прогрессия действительно убывает
- Определите первый член прогрессии a₁
2. Вычисление суммы
- Подставьте a₁ и q в формулу S = a₁/(1 - q)
- Выполните вычисления в знаменателе
- Разделите a₁ на полученный результат
Примеры расчета
| Прогрессия | Решение | Сумма |
| 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... | S = 1 / (1 - 1/2) | 2 |
| 10 + 5 + 2.5 + 1.25 + ... | S = 10 / (1 - 0.5) | 20 |
| 9 - 3 + 1 - 1/3 + ... | S = 9 / (1 - (-1/3)) | 6.75 |
Частичная сумма n членов
Для суммы первых n членов убывающей прогрессии:
- Формула: Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
- При n → ∞, qⁿ → 0, формула превращается в S = a₁/(1 - q)
Графическое представление
- По оси X откладываются номера членов прогрессии
- По оси Y - значения членов прогрессии
- Кривая постепенно приближается к горизонтальной асимптоте y = S
Практическое применение
| Область | Пример использования |
| Финансы | Расчет бессрочных аннуитетов |
| Физика | Вычисление общего пути при затухающих колебаниях |
| Экономика | Определение мультипликативного эффекта |
Ошибки при вычислении суммы
- Применение формулы при |q| ≥ 1
- Неправильное определение первого члена
- Ошибки в знаке знаменателя
- Неучет чередования знаков при отрицательном q
Вычисление суммы убывающей геометрической прогрессии - важный математический инструмент, находящий применение во многих научных и практических областях. Правильное применение формулы позволяет решать широкий круг задач, связанных с бесконечными процессами затухания.
